如何证明散度定理与高斯定理？《张朝阳的物理课》讲解矢量微积分

如何证明散度定理与高斯定理？泊松公式又是如何推导出来的？7月1日中午12时，《张朝阳的物理课》第六十七期开播，搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇搜狐视频直播间，先简单介绍了矢量微积分中的一些基本概念，包括标量场、矢量场以及一些重要的微分算子等，随后利用简单的几何方法证明了散度定理。之后他以引力为例做矢量微分运算，对引力势求梯度得到引力场强度，并且证明了高斯定理，最后进一步结合散度定理推导出了泊松公式。

直播开始，张朝阳先介绍了矢量微积分中的基本概念。给每个空间点赋予某个量，即可构成某种场。如果每个空间点上的量只用一个数就能描述，那这种场称为标量场；如果每个空间点上的量不是单个的数而是矢量，则称这种场为矢量场。他先介绍了一些基本的微分算子，其中最重要的是▽算子。在矢量微积分运算中，▽算子具有微分和矢量双重运算性质，可以简化运算，并且推导过程简明扼要易于掌握。将▽算子作用在一个标量场上，得到的结果称为该标量场的梯度。将▽算子与矢量场做点乘运算，所得结果称为矢量场的散度。▽算子也能与自己点乘，得到拉普拉斯算子。

对于一个闭合曲面，给曲面上的面积元定义一个矢量，方向为法向，大小为面积元面积。将某一矢量场与面积微元对应的矢量点乘后，对整个闭合曲面积分，得到矢量场在整个闭合曲面的通量，散度定理是说，此通量等于闭合曲面内矢量场的散度的体积分。张朝阳利用简单的几何知识来证明这个定理。先将矢量写成分量形式，通量则可以写成三个分量的积分相加，接下来只考虑z分量项。选取一个细小的平行于z轴的长方体，它在封闭曲面上截取了两个面积微元，而它在xy平面上截取的面积微元即为曲面上面积微元在xy平面上的投影。但因为细小长方体截取出来的两曲面面积元的法向的z分量是相反的，因此它们相差一个负号，于是可以把它们之差写成关于z积分的形式，这时曲面积分变成曲面内的体积积分。同理，对其它分量也可以用同样的方法处理得到类似的结果，最终将三个分量的等式合起来就成了散度定理。

接着讨论引力，张朝阳先给出了引力势，并求解它的梯度，得到新的矢量场，即引力场强度。质点的质量乘以引力场强度就得到该质点受到的引力。对于多个质点产生的引力势和引力场，可直接由叠加原理得到。若质量是以连续的分布存在，将求和改成积分号即可。现在选取一个闭合曲面，计算曲面上引力场强度矢量的通量，交换了曲面积分与质量积分顺序，而曲面面积元在沿面积元与质量微元的连线上的投影，正是面积元所张立体角乘以面积元到质量微元的距离的平方，该距离的平方可以与引力场强公式中的距离平方相消，于是关于闭合曲面的积分可以化为立体角的积分。

由于曲面外的质量微元的立体角在闭合曲面截取了两个面积微元，并且两者的法线在立体角方向上的分量是方向相反的，做积分时刚好抵消。所以只有处在闭合曲面内的体积微元才有贡献，最终积分得到高斯定理，即引力场强度关于一个闭合曲面的通量正比于闭合曲面包含的总质量。将散度定理应用到引力场，并结合高斯定理，得到引力场强度的散度与质量密度的关系，再根据引力场强度与引力势的关系，可知拉普拉斯算子作用到引力势上就等于质量密度，即泊松公式。

截至目前，《张朝阳的物理课》已直播六十多期。据了解，《张朝阳的物理课》于每周周五、周日中午12时在搜狐视频直播，网友可以在搜狐视频“关注流”中搜索“张朝阳”，观看直播及往期完整视频回放；关注“张朝阳的物理课”账号，查看课程中的“知识点”短视频；此外，还可以在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上，阅览每期物理课程的详细文章。

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